2023年
第1問
(1) $x$方向は速度一定ゆえ，
$$t_1 = \textcolor{#ff981f}{ \frac{\ell_1}{v_0 \cos \theta} }~.$$
(2) 運動方程式（$y$方向）より,
$$a_1=\textcolor{#ff981f}{ -\frac{eE_1}{m} }~.$$
(3) $t=t_1$に$y=0$となるために，
$$\begin{split} &v_0 \sin \theta \cdot t_1+\frac{1}{2} a_1 t_1{}^2=0\\ &\therefore~E_1=\textcolor{#ff981f}{ \frac{2 m v_0{}^2 \sin \theta \cos \theta}{e \ell_1} }~. \end{split}$$
(4) 円軌道の半径を$r_2$して， 運動方程式（中心方向）より，
$$\begin{split} &m\frac{v_0{}^2}{r_3}=e v_0 B_2\\ &\therefore~r_3=\frac{mv_0}{eB_2}~. \end{split}$$
すると, 中心の$y$座標は,
$$y_2=-h+r_3=\textcolor{#ff981f}{ -h+\frac{m v_0}{e B_2} }~.$$
(5) $\ell_2=r \sin \theta$と表されることから，
$$B_2=\textcolor{#ff981f}{ \frac{m v_0\sin \theta}{e\ell_2} }~.$$
(6) 運動の磁場に垂直な面上への射影は等速円運動であり，その半径は$r_3=\dfrac{m v_0 \sin \theta}{e B_3}$である．その周期は，
$$T_3=\frac{2 \pi r_3}{v_0 \sin \theta}=\textcolor{#ff981f}{ \frac{2 \pi m}{e B_3} }~.$$
(7) $x$方向の運動は，加速度 $a_3=\dfrac{e E_3}{m}$の等加速度運動である．時刻$t=NT_3$に原点に戻ることから，
$$\begin{split} &-v_0\cos\theta\cdot NT_3+\frac{1}{2}a_3(NT_3)^2=0\\ &\therefore~E_3=\textcolor{#ff981f}{ \frac{v_0 B_3 \cos \theta}{\pi N} }~. \end{split}$$
(8) $\displaystyle -v_0\cos\theta +a_3\cdot\frac{NT_3}{2}=0$より，
$$\ell_3 = \textcolor{#ff981f}{ \frac{1}{4} N v_0 T \cos \theta }~.$$
(9) 電子は原点に戻って以降は，図1と同じ運動をする．速さ$v_0$でDへ入射した電子が，電圧$V$で減速されてもなおYに到達するためには，$\dfrac{1}{2}mv_0{ }^2-eV\geqq 0$$より，
$$v_0 \geqq \textcolor{#ff981f}{ \sqrt{\frac{2eV}{m}} }~.$$
(10) 電流の大きさは$I=en$ゆえ，
$$V=R I=\textcolor{#ff981f}{ Ren }~.$$
(11) コンデンサー（容量$C=\varepsilon_0 \dfrac{S}{d}$）の電圧も$V$であるから，電荷は，
$$Q=C V=\textcolor{#ff981f}{ \frac{\varepsilon_0SRen}{d} }~.$$
(12) コンデンサーの電荷の変化量は，$\varDelta Q = en\varDelta t$ゆえ，静電エネル ギーの変化量は，
$$\begin{split} \varDelta U & =\frac{(Q+\varDelta Q)^2}{2 C}-\frac{Q^2}{2C}\\ &=\textcolor{#ff981f}{ \left(R+\frac{d}{2\varepsilon_0 S}\varDelta t\right)(en)^2\varDelta t }~. \end{split}$$
第2問
(1) 過程2→3で気体がした仕事は，
$$W_{23}=\textcolor{#ff981f}{ p_2(V_3-V_2) }~.$$
(2) 過程2→3で気体での気体の内部エネルギー変化は，
$$\varDelta U_{23} = \textcolor{#ff981f}{ nC_V(T_3-T_2)}~.$$
(3) 過程4→1での気体の放熱量は，気体の内部エネルギーの減少量に等しく，
$$Q_{41}^* = \textcolor{#ff981f}{ nC_V(T_4-T_1) }~.$$
(4) 断熱過程では，気体がした仕事は内部エネルギーの減少分に等しい．過程1→2，3→4で気体がした仕事は，
$$\begin{split} &W_{12} = -nC_V (T_2-T_1)~(<0)~,\\ &W_{34} = -nC_V (T_4-T_3)~(>0)~. \end{split}$$
また，気体定数は$R=C_p-C_V$と表されるので，
$$W_{23}=n(C_p-C_V)(T_3-T_2)~.$$
よって，1サイクルの間に, 気体がした正味の仕事は，
$$\begin{split} W_\text{cycle}&=W_{12}+W_{23}+W_{34}\\ &=\textcolor{#ff981f}{ nC_p(T_3-T_2)-nC_V(T_4-T_1) }~. \end{split}$$
※ 過程2→3での吸熱量$Q_{23}=n C_p(T_3-T_2)$を用いて，$W_\text{cycle}=Q_{23}-Q^*_{41}$と考えてもよい．
(5) 熱効率は$e=\dfrac{W_\text{cycle}}{Q_{23}}$であるから，$f=1-e$は，
$$f = \textcolor{#ff981f}{ \frac{T_4-T_1}{\gamma (T_3-T_2)} }~.$$
(6)
※ 等温線より断熱線の方が急勾配であることに留意する．
(7) $T_2\left(\dfrac{V_1}{a}\right)^{\gamma-1}=T_1 V_1{}^{\gamma-1}$より，
$$T_2 =\textcolor{#ff981f}{ a^{\gamma -1}T_1 }~.$$
(8) $T_3=\frac{V_3}{V_2} T_2$より，
$$T_3 =\textcolor{#ff981f}{ a^{\gamma -1}bT_1 }~.$$
(9) $T_4 V_1^{\gamma-1}=T_3\left(\dfrac{bV_1}{a}\right)^{\gamma-1}$より，
$$T_4=\textcolor{#ff981f}{ b^\gamma T_1 }~.$$
(10)
$$f=\textcolor{#ff981f}{ \frac{b^\gamma-1}{\gamma a^{\gamma-1}(b-1)} }~.$$
(11) モル数が増えてもポアソンの公式の立式は変わらない．また，同体積・同温度では，圧力はモル数に比例する．よって，
$$\frac{T_2^{\prime}}{T_2}=\textcolor{#ff981f}{ 1 }~,\quad\frac{p_2{ }^{\prime}}{p_2}=\textcolor{#ff981f}{ 1.4 }~.$$
(12) 吸熱量や仕事はモル数に比例する．よって， 仕事の総和は$\textcolor{#ff981f}{1.4}$倍で，熱効率は$\textcolor{#ff981f}{1}$倍となる．