2023年度前期
第1問
(1) Bのつりあいより，
$$ \begin{split} &k\frac{L}{4}=mg\sin\theta\\ &\therefore~k = \textcolor{#ff981f}{ \frac{12mg}{5L} } \end{split} $$
ここで，$\tan\theta=\dfrac{3}{4}$より, $\cos \theta=\dfrac{4}{5}$，$\sin \theta=\dfrac{3}{5}$に注意．
(2) 重心座標は，定義通りに，
$$ \begin{split} G(0)&=\frac{4 m \cdot 0+m \cdot\left(L+\dfrac{L}{4}\right)}{4 m+m}\\ &=\textcolor{#ff981f}{\frac{L}{4}}~. \end{split} $$
(3) Bの単振動の周期は$T = 2 \pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}$ゆえ，
$$T = \textcolor{#ff981f}{ \pi \sqrt{\frac{5 L}{3 g}} }~.$$
(4) $x$方向について，この系に働く外力は重力の$x$成分のみであるから，重心は加速度$g\sin\theta = \dfrac{3}{5}g$の等加速度運動を行う．よって，
$$ \begin{split} G(t) & =\frac{L}{4}+\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} g t^2\\ &= \textcolor{#ff981f}{\frac{L}{4}+\frac{3}{10} g t^2 }~. \end{split} $$
(5) GはABを$1:4$に内分する．よって，GA間の距離は，GB間の$\textcolor{#ff981f}{\dfrac{1}{4}}$倍である．
重心系に移ると，Aの運動は自然長が$\textcolor{#ff981f}{\dfrac{1}{5}}\times L$のばね（ばね定数$5k$）につながれたばね振り子の運動に見える．その角振動数は，$\sqrt{\dfrac{5k}{4m}}=\sqrt{\dfrac{3g}{L}}$である．また，初速度ゼロで，ばねの該当部分が$\dfrac{L}{4}\times\dfrac{1}{5}$伸びた状態から振動がスタートすることを考慮すれば，GA間の距離は，
$$R(t)=\textcolor{#ff981f}{\frac{L}{20}}\times\cos\left(\textcolor{#ff981f}{\sqrt{\frac{3 g}{L}}}\times t\right)+\textcolor{#ff981f}{\frac{L}{5}}~.$$
第2問
①② 状態0において，ピストンのつりあいより圧力は，
$$P_0 = \textcolor{#ff981f}{ \frac{Mg}{S} }~.$$
状態方程式より温度は，
$$T_0 = \textcolor{#ff981f}{ \frac{Mgh}{R} }~.$$
※ 全体で体積$2Sh$，2モルである．
③④ B内気体についての定積過程である．熱力学第1法則より，
$$ \begin{split} &\frac{3}{2}R\varDelta T=Q\\ &\therefore~\varDelta T = \textcolor{#ff981f}{ \frac{2Q}{3R} }~. \end{split} $$
また，状態方程式より，
$$ \begin{split} &(P_0+\varDelta P)\cdot Sh = 1\cdot R(T_0+\varDelta T)\\ &\therefore~\varDelta P = \textcolor{#ff981f}{ \frac{2Q}{3Sh} }~. \end{split} $$
⑤⑥ 非平衡を経る過程ゆえ，全体のエネルギー収支を考えてゆく．まず，状態0から状態1までの過程全体について，
$$2\cdot\frac{3}{2}R\varDelta T^* +Mg\varDelta h=Q~.$$
また，状態方程式より，
$$ \begin{split} &P_0 S(2h+\varDelta h)=2R\left(T_0+\varDelta T^*\right)\\ &\therefore~Mg\varDelta h = 2R\varDelta T^*~. \end{split} $$
これらを連立して解いて，
$$\varDelta T^* = \textcolor{#ff981f}{\frac{Q}{5R}}~,\quad\varDelta h=\textcolor{#ff981f}{\frac{2 Q}{5Mg}}~.$$
⑦ 状態0から状態1までの間の気体の内部エネルギーの変化分は，
$$\Delta U^* =2\cdot\frac{3}{2}R\varDelta T^* = \textcolor{#ff981f}{\frac{3}{5}Q}~. $$
⑧ 気体が外部にした仕事は，
$$W = P_0S\varDelta h = \textcolor{#ff981f}{\frac{2}{5}Q}~.$$
第3問
(1) 重力，浮力，抵抗力の間のつりあいを考えて，
$$\begin{split} &0=\alpha\cdot\frac{4}{3}\pi r^3 g-\beta\cdot\frac{4}{3}\pi r^3 g-krV\\ &\therefore~ r=\textcolor{#ff981f}{ \sqrt{\frac{3kV}{4\pi (\alpha-\beta )g}} }~. \end{split}$$
(2) 下降時のつりあいより，
$$\begin{split} &0=qE+\alpha\cdot\frac{4}{3}\pi r^3 g-\beta\cdot\frac{4}{3}\pi r^3 g-krV_{\mathrm{A}}\\ &\therefore~ V_{\mathrm{A}}=4\pi r^2 g\times\textcolor{#ff981f}{\frac{\alpha-\beta}{3k}}+\textcolor{#ff981f}{\frac{qE}{kr}}~. \end{split}$$
また，上昇時のつりあいより，
$$\begin{split} &0=qE-\alpha\cdot\frac{4}{3}\pi r^3 g+\beta\cdot\frac{4}{3}\pi r^3 g-krV_{\mathrm{B}}\\ &\therefore~ V_{\mathrm{B}}=-4\pi r^2 g\times\frac{\alpha-\beta}{3k}+\frac{qE}{kr}~. \end{split}$$
(3) $V_{\mathrm{A}}+V_{\mathrm{B}}=2 \dfrac{q E}{k r}$より，
$$q = \textcolor{#ff981f}{\frac{kr\left(V_{\mathrm{A}}+V_{\mathrm{B}}\right)}{2E}}~.$$
(4)
$$\begin{split} E&=\frac{400\,\text{V}}{5.0 \times 10^{-3}\,\text{m}}\\ &= \textcolor{#ff981f}{8.0\times 10^4\,\mathrm{N/C}}~. \end{split}$$
(5)
$$\begin{split} q & =\frac{1.4 \times 10^{-10}\times (5.2+4.0) \times 10^{-4}}{2 \times 8.0 \times 10^4}\,\text{C}\\ & =8.05 \times 10^{-19}\,\text{C}~. \end{split}$$
よって，$\dfrac{q}{e} \simeq \textcolor{#ff981f}{5}$である．
第4問
(1) 1本の抵抗値を$R$とする．右の4本の部分の合成抵抗が$\dfrac{3}{5}R$で，全体での合成抵抗が$\dfrac{8}{5}R$．よって，XB間の電圧は，
$$\frac{3}{8}E\times \frac{1}{3}=\textcolor{#ff981f}{\frac{1}{8}E}~.$$
(2) 屈折の法則より,
$$\begin{split} &1\cdot\sin 45^{\circ}=n\sin 30^{\circ}\\ &\therefore~n=\textcolor{#ff981f}\sqrt{2}}~. \end{split}$$
また，光線は入射時と出射時に$15^{\circ}$ずつ傾くので，合計で$\textcolor{#ff981f}{30^{\circ}}$傾く．
(3-a) $\mathrm{Pa}=\mathrm{N/m^2}=\textcolor{#ff981f}{\mathrm{m}^{-1} \cdot\mathrm{kg}\cdot \mathrm{s}^{-2}}~.$
※ $\mathrm{N}=\mathrm{kg\cdot m/s^2}$である．
(3-b) $\mathrm{J} =\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}= \textcolor{#ff981f}{\mathrm{m}^2 \cdot\mathrm{kg}\cdot \mathrm{s}^{-2}}~.$
※ ここでは仕事の単位を考えたが，運動エネルギーを手掛かりに考えることもできる．
(3-c) $\mathrm{V}=\mathrm{J/C}= \textcolor{#ff981f}{\mathrm{m}^2 \cdot \mathrm{kg} \cdot\mathrm{s}^{-3} \cdot \mathrm{A}^{-1}}~.$
※ $\mathrm{A}=\mathrm{C/s}$である．
(3-d) $\mathrm{T}=\mathrm{N/A\cdot m}=\textcolor{#ff981f}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-2} \cdot \mathrm{A}^{-1}}~.$
※ $F=IB\ell$や$f=qvB$といった公式を思い浮かべる．
(3-e) $\mathrm{J}/\mathrm{mol} \cdot \mathrm{K}=\textcolor{#ff981f}{\mathrm{m}^2 \cdot \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s}^{-2} \cdot \mathrm{mol}^{-1} \cdot \mathrm{K}^{-1}}~.$
(3-f) $\mathrm{Bq}=\textcolor{#ff981f}{\mathrm{s}^{-1}}~.$
※ 放射能の強さ（単位Bq）は，単位時間あたりに崩壊する原子核数で表す．