【入試物理の思考地図】波動の公式と解法パターン
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図：波動の学習項目を，波の基本から音・光の典型問題まで見渡せるように整理した思考地図です．
正弦進行波
波の基本式：
$$ c = \frac{\lambda}{T} = f\lambda $$
※ 波長 $\lambda$，周期 $T$，振動数 $f = \dfrac{1}{T}$，伝わる速さ $c$．
基本の作図
- 波形を少し移動させることで各地点の媒質の動きが読み取れる．
- 縦波（疎密波）の波形から各地点の疎密を読み取る．
※ 波形グラフと振動グラフの混乱が起こりやすいため，波形グラフで考えることを基本とし，振動グラフは無暗に用いないことを推奨．
※ 媒質の変位が正から負へ切り替わる地点では，周囲の媒質が近づいてきており，密となる．逆が疎．
波の式のレシピ
- AからBへ波が時間 $t_{\mathrm{AB}}$ かけて伝わる ⇒ 今のBでの変位 ＝ $t_{\mathrm{AB}}$ だけ前のAでの変位．
※ 今のAでの変位 ＝ $t_{\mathrm{AB}}$ だけ後のBでの変位，と考える場合もある．
反射と定常波
反射
- 自由端反射 ⇒ 波はそのまま（同位相で）折り返される．
- 固定端反射 ⇒ 山と谷が逆転して（位相が $\pi$ ずれて）折り返される．
定常波
- 波長の等しい逆向きの進行波が重なると定常波が生じる．
- 腹と腹・節と節の間隔は半波長．
- 反射がある場合，自由端が腹，固定端が節となる．
- 縦波の定常波で，密度変化が最も激しいのは節．
固有振動
弦の固有振動
- 弦の固有振動 ⇒ 両端が節の定常波．
- 弦を伝わる横波の速さ（張力 $S$，線密度 $\rho$）：
$$ v = \sqrt{\frac{S}{\rho}} $$
気柱の固有振動
- 気柱の固有振動 ⇒ 開口端が腹，閉口端が節の定常波．
- 開口端の腹は外に出張る（開口端補正）．
※ 物体の自由な状態での振動を固有振動とよぶ．物体に固有振動と等しい周期で変化する外力を加えると，固有振動の振幅が次第に増大する．この現象を共鳴（共振）とよぶ．
うなり
- 振動数 $f_1$，$f_2$ から生じるうなりの振動数：$f_{\mathrm{b}} = |f_1 - f_2|$
ドップラー効果
音源が動く場合
- 音源が動くことで，生じる音波の波長が変わる．
- 波長：$\lambda' = \dfrac{c - v_{\mathrm{s}}}{f}$
観測者が動く場合
- 観測者が動くことで，単位時間あたりに受け取る波の個数が変わる．
- 観測振動数：$f' = \dfrac{c - v_{\mathrm{o}}}{\lambda}$
※ 音源の振動数を $f$ とし，音源の速度を $v_{\mathrm{s}}$，観測者の速度を $v_{\mathrm{o}}$ とする（音が伝わる向き正）．
※ 音速 $c$ は音源の運動に依らない．
※ いずれの場合も「近づくときに音が高くなる」ことから符号をチェックするとよい．
特殊な場合
- 斜め方向のドップラー効果：音源・観測者の速度の視線方向成分のみが寄与する．
- 風が吹く場合：風速の効果を取り入れて，地面に対する音速を補正する．
※ 視線方向成分：音源と観測者を結ぶ方向（音が伝わる方向）の成分のこと．
屈折と干渉
屈折
- 屈折率 $n$ の媒質中では，伝わる速さ・波長が基準の $\dfrac{1}{n}$ 倍になる（振動数は不変）．
- 屈折の法則：$n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$
- 「波面と光線が垂直」の事実に基づいて屈折の法則を理解しておく．
※ この関係は重要．干渉などの問題でもこの事実が出発点になることがある．
2つの波の干渉条件
- 強めあい：位相差 $= 2m\pi$
- 弱めあい：位相差 $= (2m+1)\pi$
- 道のり $L$ と波長 $\lambda$ の関係：位相差 $\dfrac{2\pi}{\lambda}L$
※ $m$ は整数．
光の干渉
- 光学的距離（光路長）：$s = \text{屈折率} \times \text{道のり}$
- 光が屈折率の小さい媒質から大きい媒質へ入射して反射するとき，位相が $\pi$ ずれる．
ホイヘンスの原理・回折
- ホイヘンスの原理：波面の各点から二次的な円形波（素元波）が出て，それらの包絡面が次の波面を形成すると考える．
- 波は障害物の後方に回り込むように拡がりながら進む ⇒ 回折．
- 障害物が小さいほど，波長が長いほど，大きく回折する．
※ 特に，波長程度より狭いスリットを通過すると拡がって進む．
レンズ
レンズを通過する光線の性質
- レンズの中心を通る光線は直進する．
- 凸レンズの光軸に平行な光線は，反対側の焦点へ向かう．
- 凹レンズの光軸に平行な光線は，あたかも手前側の焦点から出たかのように進む．
- 光の経路を真逆にたどると光線を得られる（光線の逆進性）．
※ レンズを通る光線の性質は屈折の法則から説明される．なお，高校物理では，暗黙の裡にレンズの厚みを無視し，近軸光線のみを扱う．
像の作図と公式の導出
- 像の作図 ⇒ 2本の光線を描く．
- 公式の導出 ⇒ 被写体に対する像の倍率を，2通りで表す．
※ 光軸に平行な光線とレンズの中心を通る光線を描くのが普通．
※ 実際に光線が集まり，そこにスクリーンを置けば像が写るのが実像．一方，虚像は，物体があたかもそこに在るかのように見える，というものである．
※ 公式の導出では，相似を利用する．
レンズの公式
- 焦点距離 $f$ のレンズに対し，光軸上でレンズから測った被写体の位置を $a$，像の位置を $b$ とすると，レンズの公式
$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f} $$
が成り立つ．ただし，$f$ は凸レンズのときに正，凹レンズのときに負の値をとる．また，$a$ は光が入射する側にあるときを正にとり，$b$ は光が透過する側にあるときを正にとる．
- 被写体に対する像の倍率：$\left|\dfrac{b}{a}\right|$
- 実像：像の位置にスクリーンを置いたときに実際に結像するような像．
- 虚像：あたかもそこに被写体があったかのように見えるというような像．
- 被写体と像の位置がレンズを挟んで逆側（$b > 0$）のとき実像，同じ側（$b < 0$）のとき虚像といえる．
- 凸レンズにおいては，被写体が焦点より外側にあるとき倒立実像ができ，内側にあるとき正立虚像が出来る．後者の場合が虫メガネに使われる．
※ 凹レンズにおいては，像は常に正立虚像であり，倍率は必ず1より小さい．
音と光に関する常識
音の性質
- 空気などの流体を伝わる波は縦波（疎密波）である．
- 常温の空気中での音速は約 340 m/s であり，温度が上がると速くなる．
- 振動数（音程）：音の高さ（可聴範囲は 20 Hz〜20000 Hz 程度）．
- 振幅（音量）：大きさ．
※ 固体中では横波の音波も存在するが，前提知識とはされない．
光（電磁波）の性質
- 振動する電場・磁場が伝わる横波である（真空中でも伝わる）．
- 真空中の光速：$c = 3.0 \times 10^{8}\ \mathrm{m/s}$（波長に依らない）．
- 波長が長い（振動数が低い）順に，電波・赤外線・可視光・紫外線・X線・γ線．
- 可視光（波長域 380 nm〜770 nm）では，波長が長い順に赤・橙・黄・緑・青・紫．
- 一般に，可視光に対する屈折率は，波長が長いほどわずかに小さい（光の分散）．
- 光は微粒子に衝突すると散乱されるが，波長が長い光（赤より）は比較的散乱されづらい．
- 電場の振動が特定の方向に偏っている光を偏光という．
※ 様々な波長（色）が混ざった光が白色光である．
※ 赤よりの光ほど，屈折されづらい（直進に近い）．
※ 散乱のされやすさの違いが，青空や夕焼けの原因である．