【入試物理の思考地図】原子物理の公式と解法パターン

物理定数

真空中の光速：$c \approx 3.0 \times 10^{8}\ \mathrm{m/s}$
プランク定数：$h \approx 6.6 \times 10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}$
電気素量：$e \approx 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$
エレクトロン・ボルト：$1\ \mathrm{eV} \approx 1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{J}$
原子質量単位：$1\ \mathrm{u} = \dfrac{1}{12} \times (\mathstrut^{12}\mathrm{C}\ \text{原子の質量}) \approx 1.66 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}$

※ 電子が $V$ だけ高電位の所へ走ると，運動エネルギーが $eV$ 増える．

※ 1 eV は，電子が 1 V の電位差で加速された際に得る運動エネルギーに対応する．

※ 核子1個の質量は 1 u 程度．

光の粒子性

光子（フォトン）の性質

振動数 $\nu$，波長 $\lambda = \dfrac{c}{\nu}$ の光子のエネルギー・運動量の大きさ：$E = h\nu = \dfrac{hc}{\lambda}$，$p = \dfrac{h}{\lambda}$

光電効果

金属に波長の短い紫外線などの光（電磁波）を当てると，光電子が飛び出す現象．
金属内の自由電子が光子を吸収することでエネルギーを受け取って飛び出すと解釈する．
光電子の最大運動エネルギー：$K_{\mathrm{max}} = h\nu - W$

※ 仕事関数 $W$ は，自由電子が金属外部に出るのに必要なエネルギーの最小値．

※ 光を波として扱うと光電効果が上手く説明ができない理由は，「当てる光の振動数がある値（限界振動数）より小さいと，いくら光を強くしても光電子は飛び出さない．一方で，光の振動数が限界振動数より大きいと，光が弱くても光電子が瞬時に飛び出す」ことや，「光電子の運動エネルギーの最大値は，光の振動数で決まり，強さには依らない．一方で，光の強さを強くすると，飛び出す光電子の数が増える」こと．

コンプトン効果

X線を物質に照射すると，出射するX線の一部の波長が伸び，電子が散乱される現象．
光子と電子の弾性衝突によると解釈し，運動量保存則とエネルギー保存則を連立する．近似計算にも注意．

物質の波動性

物質波（ド・ブロイ波）

運動量の大きさ $p$ の微粒子の物質波長：$\lambda = \dfrac{h}{p}$

原子の構造

水素原子のボーア・モデル

陽子のまわりを電子が等速円運動している．
量子条件：軌道の周回の長さが電子波長の整数倍になるときに限り，定常状態となり電磁波を出さない．
振動数条件：電子がある軌道から別の軌道へ移るとき，エネルギー準位の差に等しいエネルギーの光子1個をやりとりする．

※ ここでの量子条件は，元々のボーアの主張である「電子の軌道角運動量の大きさが $\dfrac{h}{2\pi}$ の整数倍である」を言い換えた表現．

※ 水素原子に限らず，一般の原子内の電子の軌道半径はとびとびの値を取り，対応するエネルギーもとびとびの値となる．このように原子が実際にとりうるエネルギーの値をエネルギー準位という．その結果，原子から放出される光（電磁波）の波長は原子特有のものとなる．

X線の発生

高電圧で加速した電子を物質に入射させると，2つの異なる仕組みに基づいてX線が発生する．
連続X線：物質中で電子が減速されて，運動エネルギーを失い，そのエネルギーの減少分に対応した色々な波長の光子が放出される．
固有X線（特性X線）：高速の電子が原子に衝突して内側の軌道の電子をたたき出す．すると空いた軌道へ外側の軌道の電子が落ちる．その際にそのエネルギー準位の差に等しいエネルギーを持つ光子が放出される．その波長は原子の種類で決まる．

ブラッグ反射

物質の結晶にX線や電子線を入射し，散乱波の干渉の様子から，内部構造を探ることができる．
散乱波が強めあう条件は，隣り合う格子面で反射された波が同位相になること．

原子核

質量とエネルギーの等価性

質量 $m$ に対応するエネルギー：$E = mc^2$

原子核の成り立ち

原子核は，核子（陽子と中性子）が核力により結合してできている．
核力は陽子間のクーロン斥力より圧倒的に強いが，核子数個分程度のごく近距離でしか働かない．
質量数60程度（鉄・ニッケル付近）の原子核が最も安定で，それより軽くても重くても，核子1個あたりの結合エネルギーは小さくなる．

原子核の質量欠損と結合エネルギー

原子核の質量は，バラバラの核子の質量の合計より小さくなる．
原子番号 $Z$，質量数 $A$，質量 $M$ の原子核の質量欠損：$\Delta M = Zm_{\mathrm{p}} + (A - Z)m_{\mathrm{n}} - M$
結合エネルギー：$B = \Delta M c^2$

※ $m_{\mathrm{p}}$ は陽子質量，$m_{\mathrm{n}}$ は中性子質量である．

※ 結合エネルギーは，原子核をバラバラの核子にするのに必要なエネルギーを表す．

原子核崩壊

不安定な原子核は，放射線を出して別の原子核（またはより安定な状態）へ変わる．特によく起こる以下の反応を核崩壊とよぶ．
$\alpha$ 崩壊：

$$ \mathstrut_{Z}^{A}\mathrm{X} \to \mathstrut_{Z-2}^{A-4}\mathrm{Y} + \mathstrut_{2}^{4}\mathrm{He} $$

$\beta$ 崩壊：

$$ \mathstrut_{Z}^{A}\mathrm{X} \to \mathstrut_{Z+1}^{A}\mathrm{Y} + \mathrm{e}^{-} + \bar\nu_{\mathrm{e}} $$

$\gamma$ 崩壊：励起状態の原子核が，エネルギーの高い光子（$\gamma$ 線）を放出して，基底状態に落ち着く．
核崩壊における残存核数（半減期 $T$）：

$$ N(t) = N(0)\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T} $$

※ $\alpha$ 崩壊では，$\mathstrut_{2}^{4}\mathrm{He}$ 原子核（$\alpha$ 粒子）を放出し，原子番号が2，質量数が4減少する．

※ $\beta$ 崩壊では，電子（$\beta$ 線）と反ニュートリノを放出し，原子番号が1増加する（質量数は変わらない）．高校物理では，ニュートリノは詳しく扱わない．

※ $\gamma$ 崩壊では，核種は変わらない（原子番号も質量数も変わらない）．